Орбитальные манёвры. Часть 2
Выход с орбиты станции «Альфа» на транс-лунную траекторию
ПТК «Орёл» начинает перелёт к Луне с круговой орбиты станции «Альфа» высотой 500 км. Рассчитайте транслунный импульс — разгон, который поднимет апогей траектории до среднего расстояния Луны.
Результат работы: расчёт транслунного импульса и траектория с апогеем на расстоянии лунной орбиты.
Граница модели
Это первое приближение перелёта:
- Земля считается сферической;
- движение Луны и её притяжение не учитываются;
- целевой апогей принимается равным среднему расстоянию Луны от центра Земли;
- рассчитывается только импульс выхода с околоземной орбиты.
Расчёт показывает, как достичь лунной дистанции, но не гарантирует встречу с Луной. Для точного наведения нужно отдельно подобрать время и направление старта.
Исходные данные
| Величина | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| Высота орбиты станции «Альфа» | h₁ | 500 км |
| Среднее расстояние Луны от центра Земли | r₂ | 384 400 км |
| Радиус Земли | R⊕ | 6378 км |
| Гравитационный параметр Земли | μ | 398 600,4418 км³/с² |
Что нужно найти
- Радиус начальной орбиты r₁.
- Большую полуось транс-лунной траектории aтл.
- Круговую скорость на орбите «Альфы».
- Скорость в перигее транс-лунной траектории.
- Величину транслунного импульса ΔVтли.
- Эксцентриситет и расчётное время полёта до апогея.
Формулы
Радиус начальной орбиты:
r₁ = R⊕ + h₁
Большая полуось транс-лунного эллипса:
aтл = (r₁ + r₂) / 2
Скорость на орбите:
V = √[μ(2/r − 1/a)]
Круговая скорость на орбите «Альфы»:
Vкруг = √(μ/r₁)
Транслунный импульс:
ΔVтли = Vтл,перигей − Vкруг
Эксцентриситет:
e = (r₂ − r₁) / (r₂ + r₁)
Время движения до апогея:
tпер = π√(aтл³/μ)
Почему нужен только один импульс
Цель задания — выйти на транс-лунную траекторию, а не перейти на круговую орбиту радиусом 384 400 км.
Первый проградный импульс поднимает апогей до лунной дистанции. Второй земной импульс в апогее не выполняется: в реальной миссии аппарат входит в область влияния Луны, а дальнейшая траектория определяется её притяжением и последующими манёврами.
Расчёт
Шаг 1. Радиус начальной орбиты
r₁ = R⊕ + h₁
Шаг 2. Большая полуось транс-лунной траектории
aтл = (r₁ + r₂) / 2
Шаг 3. Начальная круговая скорость
Vкруг = √(μ/r₁)
Шаг 4. Скорость после транслунного импульса
В точке импульса r = r₁, а большая полуось новой траектории равна aтл:
Vтл,перигей = √[μ(2/r₁ − 1/aтл)]
Шаг 5. Транслунный импульс
ΔVтли = Vтл,перигей − Vкруг
Переведите результат из км/с в м/с.
Шаг 6. Форма траектории и время перелёта
Вычислите e и tпер.
Полученное время относится к невозмущённому гомановскому эллипсу. Реальный перелёт уточняют с учётом движения и притяжения Луны.
Что отправлять
Отправьте через Google-форму расчёт в виде текста, файла или читаемой фотографии листа. В расчёте должны быть:
- исходные данные и принятые упрощения;
- r₁ и aтл;
- начальная круговая скорость и скорость после импульса;
- ΔVтли;
- эксцентриситет траектории;
- время перелёта до апогея;
- пояснение, почему этот расчёт не гарантирует встречу с Луной.