Орбитальные манёвры. Часть 1
Перелёт ПТК «Орёл» к станции «Альфа»
ПТК «Орёл» находится на круговой опорной орбите высотой 200 км. Станция «Альфа» летит по круговой орбите высотой 500 км. Рассчитайте двухимпульсный гомановский переход между этими орбитами.
Результат работы: полный расчёт двух импульсов, суммарного ΔV и времени перелёта.
Граница задачи
Вы рассчитываете только переход между двумя круговыми орбитами. Для встречи со станцией нужно также подобрать момент первого импульса так, чтобы «Орёл» и «Альфа» одновременно пришли в точку сближения. Фазирование и стыковка в это задание не входят.
Исходные данные
| Величина | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| Высота опорной орбиты «Орла» | h₁ | 200 км |
| Высота орбиты станции «Альфа» | h₂ | 500 км |
| Радиус Земли | R⊕ | 6378 км |
| Гравитационный параметр Земли | μ | 398 600,4418 км³/с² |
Обе орбиты считаются круговыми и компланарными — лежащими в одной плоскости.
Что нужно найти
- Радиусы начальной и конечной орбит r₁ и r₂.
- Большую полуось переходного эллипса aп.
- Первый импульс ΔV₁, который поднимает апогей.
- Второй импульс ΔV₂, который поднимает перигей и делает орбиту круговой.
- Суммарное ΔV и время пассивного перелёта.
Формулы
Высоты отсчитываются от поверхности Земли:
r₁ = R⊕ + h₁
r₂ = R⊕ + h₂
Большая полуось переходной орбиты:
aп = (r₁ + r₂) / 2
Скорость на орбите:
V = √[μ(2/r − 1/a)]
Для круговой орбиты:
Vкруг = √(μ/r)
Время движения от перигея до апогея переходной орбиты:
tпер = π√(aп³/μ)
Схема манёвра
В точке первого импульса:
ΔV₁ = Vп,перигей − Vкруг,1
В апогее переходного эллипса:
ΔV₂ = Vкруг,2 − Vп,апогей
Оба импульса проградные — направлены по движению аппарата.
Расчёт
Шаг 1. Радиусы орбит
Вычислите r₁ и r₂.
Шаг 2. Переходная орбита
aп = (r₁ + r₂) / 2
Шаг 3. Первый импульс
Найдите круговую скорость «Орла»:
Vкруг,1 = √(μ/r₁)
Затем скорость в перигее переходной орбиты:
Vп,перигей = √[μ(2/r₁ − 1/aп)]
Вычтите круговую скорость из скорости на переходной орбите и получите ΔV₁.
Шаг 4. Второй импульс
Найдите скорость в апогее переходной орбиты:
Vп,апогей = √[μ(2/r₂ − 1/aп)]
И круговую скорость на орбите «Альфы»:
Vкруг,2 = √(μ/r₂)
Вычтите скорость в апогее переходной орбиты из круговой скорости и получите ΔV₂. Затем сложите оба импульса.
Шаг 5. Время перелёта
tпер = π√(aп³/μ)
Что отправлять
Отправьте через Google-форму расчёт в виде текста, файла или читаемой фотографии листа. В расчёте должны быть:
- исходные данные с единицами;
- r₁, r₂ и aп;
- круговые скорости и скорости на переходной орбите;
- ΔV₁, ΔV₂ и суммарное ΔV;
- время перелёта;
- краткое пояснение назначения двух импульсов.